Duration e Convessità

La Duration: misurare la sensibilità ai tassi

La duration, concettualizzata da Frederick Macaulay nel 1938, è fondamentalmente una misura del tempo medio ponderato necessario per ricevere tutti i flussi di cassa di un’obbligazione. A differenza della semplice scadenza, che indica solo il momento finale del rimborso, la duration tiene conto di tutti i pagamenti intermedi (cedole) e del loro valore attuale.
M atematicamente, la duration di Macaulay si calcola come:

D = Σ[t × PV(CFt)] / P

Dove t è il tempo fino al flusso di cassa, PV(CFt) è il valore attuale di ciascun flusso di cassa al tempo t e P è il prezzo dell’obbligazione.

Per un’obbligazione a cedola fissa, la duration è sempre inferiore alla scadenza. Solo per le obbligazioni zero-coupon (che non pagano cedole), la duration coincide esattamente con la scadenza.
La duration fornisce due informazioni preziose:

1. Una stima della vita media finanziaria dell’obbligazione
2. Una prima approssimazione della sensibilità del prezzo alle variazioni dei tassi d’interesse

Un’obbligazione con duration di 5 anni, ad esempio, vedrà il suo prezzo variare approssimativamente del 5% in direzione opposta per ogni variazione dell’1% dei tassi d’interesse.

La Duration modificata: quantificare la sensibilità ai tassi

La duration modificata evolve il concetto base di duration per fornire una misura più diretta e precisa della sensibilità del prezzo alle variazioni dei tassi. Si calcola semplicemente come:

Duration Modificata = Duration di Macaulay / (1 + y)

Dove y è il rendimento a scadenza espresso in forma decimale.

La duration modificata esprime direttamente la variazione percentuale del prezzo dell’obbligazione per una variazione unitaria (1%) del rendimento. Se un’obbligazione ha una duration modificata di 4,5, il suo prezzo diminuirà del 4,5% circa se i tassi d’interesse aumentano dell’1%, e aumenterà del 4,5% circa se i tassi diminuiscono dell’1%.

Questo parametro è particolarmente utile per:

• Confrontare la sensibilità al tasso di diverse obbligazioni
• Stimare rapidamente l’impatto sul portafoglio di uno specifico movimento dei tassi
• Immunizzare un portafoglio contro movimenti attesi dei tassi d’interesse

Tuttavia, è importante notare che la duration modificata fornisce solo un’approssimazione lineare di una relazione non lineare.

La Convessità: catturare la non linearità

La convessità affronta proprio questa limitazione della duration modificata. Mentre la duration fornisce un’approssimazione lineare della relazione prezzo-rendimento, la convessità misura il grado di curvatura di questa relazione.

La convessità assume particolare importanza per:

• Movimenti ampi dei tassi d’interesse, dove l’approssimazione lineare diventa inadeguata
• Obbligazioni a lunga scadenza o con cedole basse, che tendono ad avere una maggiore convessità
• Strategie di investimento che mirano a massimizzare il potenziale rialzista mantenendo controllato il rischio di ribasso

Matematicamente, la convessità si calcola come la seconda derivata della funzione prezzo-rendimento, normalizzata per il prezzo dell’obbligazione. Una convessità più alta rappresenta una maggiore curvatura e implica che il prezzo dell’obbligazione aumenterà più velocemente quando i tassi scendono rispetto a quanto diminuirà quando i tassi salgono della stessa entità.

Quando si combinano duration modificata e convessità, si ottiene una formula di approssimazione molto più accurata:

ΔP/P ≈ -D × Δy + 0.5 × C × (Δy)²

Dove:

• ΔP/P è la variazione percentuale del prezzo
• D è la duration modificata
• C è la convessità
• Δy è la variazione del rendimento

Perchè analizzare Duration e Convessità?

L’analisi di questi parametri è fondamentale per diverse ragioni:

1. Gestione del rischio di tasso d’interesse: Duration e convessità permettono di quantificare e gestire attivamente l’esposizione del portafoglio alle variazioni dei tassi.
2. Strategie di immunizzazione: Gli investitori possono strutturare portafogli con specifiche caratteristiche di duration per “immunizzarli” contro determinati movimenti di mercato.
3. Ottimizzazione del trade-off rischio-rendimento: Confrontando la duration e la convessità di diverse obbligazioni, è possibile selezionare strumenti che offrono il miglior rapporto tra rendimento potenziale e sensibilità ai tassi.
4. Previsione dell’impatto delle politiche monetarie: Quando le banche centrali annunciano variazioni nei tassi, questi parametri permettono di stimare rapidamente l’effetto sul valore del portafoglio.
5. Analisi degli scenari: Elaborando diversi scenari di movimento dei tassi, è possibile valutare la resilienza del portafoglio in varie condizioni di mercato.

Come funziona il calcolatore

Il calcolatore richiede l’inserimento di parametri fondamentali:

• Prezzo attuale: il prezzo di mercato dell’obbligazione
• Valore nominale: il valore di rimborso a scadenza (solitamente 100)
• Data di scadenza: quando l’obbligazione sarà rimborsata
• Tasso cedolare annuo: la percentuale di interesse pagata annualmente
• Frequenza cedole: quante volte all’anno viene pagata la cedola
• Tassazione: fissata al 12,5% come previsto in Italia per i titoli di Stato

Una volta inseriti questi dati, il calcolatore esegue automaticamente una serie di complessi calcoli:

1. Rendimento a scadenza (YTM): viene calcolato utilizzando un algoritmo iterativo (Newton-Raphson) che trova il tasso di sconto che eguaglia il valore attuale di tutti i flussi di cassa futuri al prezzo attuale.
2. Rendimento netto: considera l’impatto della tassazione sulle cedole, fornendo un’immagine più realistica del rendimento effettivo.
3. Duration modificata: viene calcolata prima la duration di Macaulay e poi convertita in duration modificata.
4. Convessità: viene calcolata utilizzando le formule standard della seconda derivata normalizzata.

Il punto di forza del calcolatore è la visualizzazione grafica della relazione prezzo-rendimento, che mostra:

• Curva di prezzo esatta: calcolata punto per punto per vari livelli di rendimento
• Curva di approssimazione: basata sulla duration modificata e sulla convessità

Questo grafico permette di:

• Visualizzare l’effetto dei cambiamenti di rendimento sul prezzo dell’obbligazione
• Comprendere visivamente il concetto di convessità
• Valutare l’accuratezza dell’approssimazione basata su duration e convessità
• Anticipare il comportamento dell’obbligazione in diversi scenari di tasso

Il calcolatore risulta particolarmente utile in diversi contesti:

1. Analisi pre-investimento: prima di acquistare un’obbligazione, è possibile valutarne le caratteristiche di rischio-rendimento.
2. Gestione attiva del portafoglio: monitorando regolarmente duration e convessità, si può adattare il portafoglio al mutare delle condizioni di mercato.
3. Confronto tra titoli: comparando diversi titoli obbligazionari sulle stesse metriche, è possibile identificare le opportunità più interessanti.
4. Educazione finanziaria: il calcolatore è uno strumento eccellente per comprendere visivamente concetti complessi come la convessità.
5. Simulazione di scenari: testando diversi scenari di tasso, è possibile prepararsi a varie evoluzioni del mercato.

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